Notre Dame Math Club

“𝘛𝘩𝘦 𝘥𝘪𝘴𝘤𝘰𝘷𝘦𝘳𝘪𝘦𝘴 𝘵𝘩𝘢𝘵 𝘢𝘳𝘦 𝘮𝘢𝘥𝘦 𝘢𝘳𝘦 𝘰𝘧 𝘢 𝘱𝘦𝘳𝘮𝘢𝘯𝘦𝘯𝘵 𝘯𝘢𝘵𝘶𝘳𝘦, 𝘵𝘩𝘦𝘺 𝘥𝘰𝘯'𝘵 𝘤𝘩𝘢𝘯𝘨𝘦, 𝘵𝘩𝘦𝘺 𝘢𝘳𝘦 𝘵𝘩𝘦𝘳𝘦. 𝘈𝘯𝘥 𝘵𝘩𝘦𝘺 𝘤𝘢𝘯 𝘣𝘦 𝘢𝘱𝘱𝘳𝘦𝘤𝘪𝘢𝘵𝘦𝘥 𝘢𝘧𝘵𝘦𝘳 𝘩𝘶𝘯𝘥𝘳𝘦𝘥𝘴 𝘰𝘧 𝘺𝘦𝘢𝘳𝘴.”
— 𝐀𝐭𝐥𝐞 𝐒𝐞𝐥𝐛𝐞𝐫𝐠

Mathematics is not just about solving the problems of today; it is about uncovering eternal truths that remain unchanged by the passage of time. Few minds understood this permanence as deeply as the man who looked at the chaotic distribution of prime numbers and found an elegant, elementary path through them.

In the realm of modern mathematics, his name carries a profound weight. His revolutionary work on the 𝐒𝐞𝐥𝐛𝐞𝐫𝐠 𝐓𝐫𝐚𝐜𝐞 𝐅𝐨𝐫𝐦𝐮𝐥𝐚 bridged the gap between topology and representation theory, while his 𝐒𝐞𝐥𝐛𝐞𝐫𝐠 𝐒𝐢𝐞𝐯𝐞 redefined the boundaries of analytic number theory. Without his contributions, our understanding of the 𝐑𝐢𝐞𝐦𝐚𝐧𝐧 𝐙𝐞𝐭𝐚 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 and the hidden symmetries of mathematics would be incomplete. He didn't just solve equations; he built entire frameworks that continue to guide mathematicians today.

𝐇𝐚𝐩𝐩𝐲 𝐁𝐢𝐫𝐭𝐡𝐝𝐚𝐲 to 𝐀𝐭𝐥𝐞 𝐒𝐞𝐥𝐛𝐞𝐫𝐠! May his legacy continue to inspire generations of thinkers to seek the permanent truths of the universe.

The first challenge of the 𝐍𝐃𝐌𝐂 𝐌𝐚𝐭𝐡 𝐂𝐮𝐩 𝟐𝟎𝟐𝟔: 𝐅𝐨𝐨𝐭𝐛𝐚𝐥𝐥 𝐄𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧 has reached its final whistle.

Yesterday's problem asked a fascinating question: what were the chances of Morocco repeating history and leaving Neymar heartbroken? After careful calculation and elegant reasoning, the answer is now revealed.

We congratulate all participants who stepped onto the field of probability and a special congratulations to the correct solvers featured in this post. Their solutions have earned them the first points on the journey toward the top of the leaderboard.

The road is still long, and many matches remain to be played. Until the next kickoff, keep your proofs sharp and your calculations sharper.

🚨 𝐇𝐄𝐑𝐄 𝐖𝐄 𝐆𝐎! The whistle blows for 𝐍𝐃𝐌𝐂 𝐌𝐚𝐭𝐡 𝐂𝐮𝐩 𝟐𝟎𝟐𝟔: 𝐅𝐨𝐨𝐭𝐛𝐚𝐥𝐥 𝐄𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧!

Football is filled with moments that transcend the game itself. One such moment came in 2022 when Morocco's historic victory over Portugal brought Cristiano Ronaldo to tears. But what if history stands on the verge of repeating itself?

As 𝐌𝐨𝐫𝐨𝐜𝐜𝐨 prepares to face 𝐁𝐫𝐚𝐳𝐢𝐥, today's challenge asks you to look beyond the scoreline and into the world of probability. Will 𝐍𝐞𝐲𝐦𝐚𝐫 share Ronaldo's fate and leave the field in tears, or will Brazil avoid heartbreak?

Solve the problem, submit your answer to our page inbox and take another step on the 𝐑𝐨𝐚𝐝 𝐭𝐨 𝐭𝐡𝐞 𝐅𝐢𝐧𝐚𝐥 𝐏𝐫𝐨𝐨𝐟.

𝐓𝐡𝐞 𝐁𝐚𝐧𝐠𝐥𝐚 𝐯𝐞𝐫𝐬𝐢𝐨𝐧 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐪𝐮𝐞𝐬𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐢𝐬 𝐚𝐯𝐚𝐢𝐥𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐜𝐨𝐦𝐦𝐞𝐧𝐭𝐬.

“গণিত হলো জটিলতার অরণ্যে সরলতার খোঁজ, যেখানে প্রতিটি সংখ্যার নিজস্ব একটা সুর থাকে।”

সংখ্যাতত্ত্বের জগতে সবচেয়ে রহস্যময় সত্তাটির নাম হলো মৌলিক সংখ্যা। এরা চলে আপন খেয়ালে, কোনো সুনির্দিষ্ট ছন্দে বা ছাঁচে এদের যেন কিছুতেই বাঁধা যায় না! আপাতদৃষ্টিতে এই নিয়ম ভাঙার রাজত্বে আদৌ কি সুনিশ্চিত কোনো প্যাটার্ন খুঁজে পাওয়া সম্ভব? এই ঘোরতর অনিশ্চয়তার মাঝে অটল নিশ্চয়তার এক অবিশ্বাস্য গল্পই হলো 'বার্ট্রান্ড পোস্টুলেট'।

আমাদের ক্লাবের অন্যতম প্রতিভাবান সদস্য অন্তরীক্ষ মহাজন (১২৬১৬০৩২) এর দুর্দান্ত উপস্থাপন “𝐁𝐞𝐫𝐭𝐫𝐚𝐧𝐝 𝐏𝐨𝐬𝐭𝐮𝐥𝐚𝐭𝐞: অনিশ্চিতে সুনিশ্চিতের খোঁজে”।

যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n>1 এর জন্য n এবং 2n এর মাঝে অন্তত একটি মৌলিক সংখ্যা থাকবেই—১৮৪৫ সালে ফরাসি গণিতবিদ জোসেফ বার্ট্রান্ডের করা এই সরল অনুমানটি কীভাবে পরবর্তীতে চেবিশেভের জটিল ক্যালকুলাস এবং ১৯ বছর বয়সী গণিতবিদ পল এরডশের প্যাসকেল ত্রিভুজের ব্যবচ্ছেদ দ্বারা প্রমাণিত হলো, অন্তরীক্ষ তা এই আর্টিকেলে নিখুঁতভাবে ফুটিয়ে তুলেছে। অলিম্পিয়াড ম্যাথের হারমনিক সিরিজ কিংবা ফ্যাক্টোরিয়ালের জটিল গোলকধাঁধাগুলো কীভাবে এই অনন্য প্রমাণের মূল হাতিয়ার হয়ে উঠল, তা জানতে এই আর্টিকেলটি হবে আপনার যুক্তির এক নতুন দিগন্ত।

আসুন, মৌলিক সংখ্যার এই রোমাঞ্চকর বিন্যাসের গোলকধাঁধায় হারিয়ে যাই আমরা এবং জটিলতার আড়ালে লুকিয়ে থাকা পরম সরলতাকে আবিষ্কার করি।

Football is decided by goals. Mathematics is decided by proofs.

This World Cup season, bring both passions together with 𝐍𝐃𝐌𝐂 𝐌𝐚𝐭𝐡 𝐂𝐮𝐩 𝟐𝟎𝟐𝟔: 𝐅𝐨𝐨𝐭𝐛𝐚𝐥𝐥 𝐄𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧.

Step onto the field of logic, solve the challenge, and earn your place among the top mathletes of the tournament.

Desmos Artwork: 𝐍𝐃𝐂 𝐌𝐨𝐧𝐨𝐠𝐫𝐚𝐦
By 𝐀𝐫𝐬𝐡 𝐑𝐚𝐡𝐦𝐚𝐧 (𝟏𝟐𝟕𝟎𝟑𝟎𝟑𝟔)

In Desmos, equations act like invisible strokes that shape curves, forms, and patterns, where mathematics quietly transforms into visual structure on a coordinate plane.

This artwork brings the entire monogram to life purely through mathematical equations, with every curve and detail carefully constructed rather than drawn. An astonishing 𝟒𝟗𝟕 𝐞𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬 were used to build the complete structure, showing how precision and creativity can merge to form a single unified design.

The link to the artwork is in the comments.

“যে গণিত দিক নির্দেশ করে, বিস্তার ব্যাখ্যা করে, আর ঘূর্ণনের অন্তর্নিহিত ছন্দ উন্মোচন করে-- ভেক্টর ক্যালকুলাস তারই ভাষা।”

যুগান্তর দে (১২৬০৮০২৭) - এর উপস্থাপনায় "𝐀𝐓𝐋𝐄𝐃 Academic Article"এর নতুন আয়োজন হলো "ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর (∇)".

এই আর্টিকেলটি পাঠককে পরিচয় করিয়ে দেবে এমন এক গাণিতিক অপারেটরের সঙ্গে, যা একইসাথে পরিবর্তনের দিক নির্ণয় করে, কোনো ক্ষেত্রের বিস্তার বিশ্লেষণ করে এবং ঘূর্ণনের অন্তর্নিহিত আচরণকে স্পষ্ট করে তোলে। গ্রেডিয়েন্ট, ডাইভার্জেন্স ও কার্ল, প্রতিটি ধারণাই এখানে ব্যাখ্যা করা হয়েছে গাণিতিক গভীরতা ও প্রাঞ্জল উপস্থাপনার সমন্বয়ে।

তড়িৎচুম্বকত্ব, প্রবাহী বলবিদ্যা কিংবা আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের বহু জটিল তত্ত্বের অন্তরালে এই অপারেটরই নীরবে নির্মাণ করে গাণিতিক ভিত্তি।

গণিতকে কেবল সূত্রের ভেতর সীমাবদ্ধ না রেখে, তার অন্তর্নিহিত দর্শন ও সৌন্দর্য অন্বেষণের পথেই Notre Dame Math Club এর এই প্রয়াস।

Desmos Artwork: 𝐓𝐡𝐨𝐮𝐠𝐡𝐭𝐬
By 𝐌𝐝. 𝐑𝐚𝐢𝐡𝐚𝐧 𝐓𝐚𝐦𝐳𝐢𝐝 (𝟏𝟐𝟕𝟎𝟕𝟎𝟒𝟐)

In Desmos, equations become more than numbers they turn into lines that breathe and shapes that speak. With carefully crafted functions, maths unfolds into visual form, where logic quietly paints emotion.

This artwork reflects a calm inner space where thoughts move quietly between reflection and emotion. Within this flow, scattered ideas gradually take form, creating a sense of balance and depth. “𝐓𝐡𝐨𝐮𝐠𝐡𝐭𝐬” becomes a visual expression of how the mind can turn subtle feelings into something structured, meaningful, and peaceful.

The link to the artwork is in the comments.

𝐓𝐡𝐞 𝐁𝐞𝐚𝐮𝐭𝐲 𝐨𝐟 𝐈𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐭𝐲: 𝐃𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐏𝐫𝐨𝐨𝐟 𝐚𝐧𝐝 𝐌𝐮𝐜𝐡 𝐌𝐨𝐫𝐞
By 𝐌𝐝 𝐒𝐚𝐛𝐛𝐢𝐫 𝐀𝐥𝐚𝐦 𝐅𝐞𝐫𝐝𝐨𝐮𝐬 (𝟏𝟐𝟕𝟎𝟐𝟎𝟐𝟐)

Infinity has been intriguing both philosophers and mathematicians for centuries. But no one had ever made such an impact on how we perceive this phenomenon until Georg Cantor in the late 19th century. This work proves that infinity cannot be seen just as one concept, but it includes an intricate hierarchy of various sizes of infinities, which are astonishing in their nature. In particular, the diagonal argument serves as the main proof of all Cantor ideas about infiniteness.

𝟏. 𝐕𝐚𝐫𝐢𝐨𝐮𝐬 𝐒𝐢𝐳𝐞𝐬 𝐨𝐟 𝐈𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐭𝐞 𝐒𝐞𝐭𝐬
Cantor argued that the traditional vision of infinity as one vague notion could no longer be true. In particular, he claimed that infinite sets could have different sizes. First, he proved that the set of natural numbers was infinite yet countable since the elements of this set can be paired up with positive integers. However, there were uncountable infinities, such as the set of real numbers, which means that they should be seen as greater in comparison to countable ones. In this regard, Cantor came to introduce cardinal infinite numbers beginning from aleph-null (ℵ₀)

𝟐. 𝐓𝐡𝐞 𝐃𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐀𝐫𝐠𝐮𝐦𝐞𝐧𝐭: 𝐀 𝐍𝐞𝐰 𝐏𝐫𝐨𝐨𝐟 𝐓𝐞𝐜𝐡𝐧𝐢𝐪𝐮𝐞
For instance, Cantor had already presented a diagonal argument in 1891 as a proof that the set of reals is not sequenceable like natural numbers.

Steps of the Argument:
- Assume that the set of real numbers between 0 and 1 is enumerated in infinite decimals. (Cantor, 1891)
- Create a new number by taking the nth decimal of the nth number and altering it, for example, from 5 to 6. (Suppes, 1990)
- The newly created number will differ from all numbers on our list in at least one digit position. (Cantor, 1891)
- Therefore, our listing is necessarily incomplete. (Kunen, 2011)

This absolutely magnificent, beautiful, and mind-blowing proof showed that uncountable sets exist, and their cardinality is strictly larger than that of ℵ₀. It is widely regarded as one of the most beautiful proofs ever written (Hallet, 1984).

𝟑. 𝐅𝐫𝐨𝐦 𝐑𝐞𝐚𝐥 𝐍𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫𝐬 𝐓𝐨 𝐃𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥𝐢𝐳𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐄𝐯𝐞𝐫𝐲𝐰𝐡𝐞𝐫𝐞
Very soon Cantor's diagonal technique spread throughout all of mathematics.
A diagonal proof was used by Alan Turing in his demonstration that some functions are uncomputable, specifically in the proof of undecidability of the Halting Problem (Turing, 1936).
In set theory, the technique of diagonalization may be employed to develop functions that are not included in any list presumed to contain all of them, crucial in demonstrating the existence of big and intricate sets (Kunen, 2011).
In logic, Gödel’s incompleteness theorem relies on a diagonalization approach (self-reference) to demonstrate that there are true statements within formal systems that cannot be formally proven.

𝟒. 𝐁𝐞𝐲𝐨𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐞 𝐒𝐜𝐨𝐩𝐞 𝐨𝐟 𝐈𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐭𝐲
In addition to the above, Cantor introduced the Continuum Hypothesis: There exists no infinity between the cardinality of integers and that of real numbers.
Higher-level research into set theory later confirmed that CH is neither provable nor disprovable based on the Zermelo-Fraenkel axioms of mathematics (ZFC):
- Gödel (1940): CH cannot be refuted.
- Cohen (1963): CH cannot be proven.
Therefore, the nature of the continuum is one of the greatest enigmas in mathematics (Jech, 2003).

𝟓. 𝐓𝐡𝐞 𝐌𝐚𝐠𝐧𝐢𝐟𝐢𝐜𝐞𝐧𝐜𝐞 𝐨𝐟 𝐂𝐚𝐧𝐭𝐨𝐫’𝐬 𝐖𝐨𝐫𝐤
Cantor received harsh criticisms during his lifetime. Some mathematicians, for instance Kronecker, regarded the concept of actual infinity as merely “nonsense” (Dauben, 1979). But Cantor proceeded to develop his theory of sets under the conviction that the infinite was the “most beautiful and most powerful conception of the human mind” (Cantor, Letter to Dedekind, 1885).
His work is now considered indispensable in:
- Modern set theory
- Computer science
- Logic
- Philosophy of mathematics
Infinity was not the end of our ignorance, but rather the beginning of boundless magnificence.

“প্রমাণের শক্তি তখনই সত্যিকারের প্রকাশ পায়, যখন একটি সত্য কেবল এক ধাপ নয়— বরং তার আগের প্রতিটি ধাপের ভিত্তিতেও দৃঢ়ভাবে দাঁড়িয়ে থাকে।”

তাসদীক আহমেদ তন্ময় (১২৬০৮০০৩) এর উপস্থাপনায় প্রকাশিত হয়েছে "𝐒𝐭𝐫𝐨𝐧𝐠 𝐈𝐧𝐝𝐮𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 Academic Article" গাণিতিক আরোহ পদ্ধতির একটি আরও শক্তিশালী ও বিস্তৃত রূপের গভীর বিশ্লেষণ।

এই আর্টিকেলে সাধারণ ইনডাকশন থেকে স্ট্রং ইনডাকশনের মৌলিক পার্থক্য স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যেখানে একক ধাপের পরিবর্তে পূর্ববর্তী সকল ধাপকে ভিত্তি হিসেবে গ্রহণ করা হয়। এই শক্তিশালী কাঠামো ব্যবহার করে প্রমাণের যুক্তিকে আরও সুদৃঢ় ও সর্বজনীন করা সম্ভব হয়।

মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ, ফিবোনাচ্চি-ভিত্তিক টাইলিং সমস্যা থেকে শুরু করে গ্রাফ থিওরি ও গেম থিওরির জটিল সমস্যাগুলিতেও স্ট্রং ইনডাকশন তার কার্যকারিতা প্রমাণ করে।

“যেখানে সাধারণ যুক্তি থেমে যায়, সেখানেই শুরু হয় শক্তিশালী আরোহের প্রকৃত যাত্রা।”